積分方程式の逐次展開

完全に忘れていたのでメモ．かなり雑．

積分方程式

y(x)=y_0 +\int_{x_0}^x f(z,y(z)) dz

を解きたい．しかし積分の中に未知関数が入っていて難しい．

ところが

y\sim y_1(x)=y_0+\int_{x_0}^x f(z,y_0)dz

が

x\sim x_0で成立してそう．

これを元の積分方程式に再び代入して

y_2(x)=y_0+\int_{x_0}^x f(z,y_1(x))dz．

この，

y_{n+1}(x)=y_0+\int_{x_0}^x f(z,y_n(x))dz．

 という操作を繰り返して

\lim_{n\to\infty}y_n=y

を得る．