部分分数分解は留数計算　 - ここなら古紙回収されない

留数計算は大学で複素積分を勉強して知る概念ですが，ここでは大学の知識は一切使わない記事ですので，高校生にも(寧ろ高校生の方が)役に立つ記事になっていると思います．

部分分数分解とは例えば

$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$

のようなものです．

教科書的な方法は

$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}$

と置いて右辺が

$\displaystyle\frac{(a+b)x+a}{x(x+1)}$

となることから連立方程式

$a+b=1\,\,\text{and}\,\,a=1$

$a,b$ について解くというものです．

しかし上の式をグッと睨めば

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{x(x+1)}x=a$

$\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{1}{x(x+1)}(x+1)=b$

がすぐ判るので

$\displaystyle a=\lim_{x\to0}\frac{1}{x(x+1)}x=\lim_{x\to0}\frac{1}{x+1}=1$

$\displaystyle b=\lim_{x\to-1}\frac{1}{x(x+1)}(x+1)=\lim_{x\to-1}\frac{1}{x}=-1$

は連立方程式を解かなくても簡単に判ります．