物理学科的な漸化式の解説(いわゆる「特性方程式」の意味)

高校生向け記事です．等比数列や数列の表し方(一般項)は知っている前提としていますが漸化式についての知識は一切仮定していません．初めから理解して $a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n+2$ が解けるようになることを目標としたいと思います．

漸化式は解法暗記ゲーのように思われがちですが，一貫して重要な考え方があります．それは「重ね合わせ」です．数Bのベクトルで「一時独立」，数列の和で「差分」がキーだったのと同様です．

漸化式とは，例えば

$a_{n+1}=3a_n$

のように数列の前後の関係を決める式です．この場合，一つ後ろの項が３倍になっているような数列です．このような数列は

$2,6,18,\ldots$ や $\frac{1}{3},1,3,\ldots$

などがあります．このように，漸化式は前後関係を規定しているだけなので漸化式だけでは数列は定まりません．この漸化式の解は公比3の等比数列なので3の指数関数になっていればよく，

$a_n=C\cdot 3^n$

です．このように任意定数 $C$ が入っています．任意定数というのは $a_n=5\cdot3^n$ でも $a_n=100\cdot3^n$ でも $n$ によらない定数であれば解であるということです．

具体的に数列を定めるには初期条件を与えればよく，例えば， $a_1=1$ と与えれば

$1=C\cdot 3$ を解いて

$a_n=3^{n-1}$

と決まります( $a_1$ である必要性はありませんが大抵の場合 $a_1$ が与えられます)．任意定数 $C$ が入ったような解を一般解と呼びます．任意定数が含まれていることで一般の初期条件に対して例外なく解になっています．ですので漸化式を解くには「漸化式を満たしていてかつ任意定数を含むようなもの」を考えます．

任意定数が含まれていない場合は特殊解と呼ばれます．今の漸化式の場合 $a_n=3^n$ は特殊解です．特殊解は特定の初期条件のときしか解になれないのでこう呼ばれます．この漸化式の場合， $a_1=3$ の時のみの解ということです．

次に，漸化式

$a_{n+1}=5a_n-8$

を考えます．「漸化式を満たしていてかつ任意定数を含むようなもの」を求めたいわけですがひとまず特殊解を考えます．この漸化式の特殊解 $a_n=f(n)$ は

$f(n+1)=5f(n)-8$

を満たします．ここで $f(n)$ は $n$ の関数ですが， $f(n)=\text{定数}=\alpha$ だとしても

$\alpha=5\alpha-8$

となる $\alpha$ は存在します．この場合， $f(n)=\alpha=2$ です．数列としては

$2,2,2,2,\ldots$

という解です．これは初期条件 $a_1=f(1)=2$ にしか使えない解であることに注意します．(この $\alpha$ の一次方程式をチャート式などでは「特性方程式」と呼んでいますがこれを「特性方程式」と呼ぶのは混乱の元だと思います)．

次に以下の漸化式を満たすような $b_n$ を考えます．

$b_{n+1}=5b_n$

これは等比数列なので同様にして一般解が求まります．これは $n$ の恒等式です．従って特殊解の等式の両辺に足すことができます．よって

$b_{n+1}+\alpha=5(b_n+\alpha)-8$

です．ここで， $b_n+\alpha$ はまさに「漸化式を満たしていてかつ任意定数を含むようなもの」で，元々解きたかった漸化式の一般解になっていることが判ります．よって

$a_n=C\cdot 5^n+2$

と一般解が求まります．

一般に，

$a_{n+1}=pa_n+q$

についても

$\alpha=p\alpha+q$

を満たす特殊解 $\alpha$ に

$b_{n+1}=pb_n$

を満たす一般解

$b_n=C\cdot p^n$

を足した

$a_n=C\cdot p^n+\alpha$

は一般解になっています．ここで注意して欲しいのは， $\alpha$ とおけたのはたまたま今の場合，特殊解が $f(n)=\text{定数}$ の形だからということです．数列を習いたての高校生はいきなりこの $\alpha$ が出てきて混乱する人も多いようですが，「 $a_n$ を定数だとしてもどうせただの一次方程式が出てくるので必ずそのような $a_n=\alpha$ が存在する．だから $a_n=a_{n+1}=\alpha$ と置いて構わない」ということです．