ハミルトニアンが時間に依存する場合のSchrodinger方程式の解

Schrodinger方程式は

$\displaystyle i\hbar\partial_t |\psi(t)\rangle=\hat{H}(t)|\psi(t)\rangle$

です．時間発展演算子を $\hat{U}(t)$ と書くと，

$\displaystyle i\hbar\partial_t \hat{U}(t)|\psi(0)\rangle=\hat{H}(t)\hat{U}(t)|\psi(0)\rangle$

なので

$\displaystyle i\hbar\partial_t \hat{U}(t)=\hat{H}(t)\hat{U}(t)$

となります．積分すると $\hat{U}(0)=\hat{1}$ なので

$\displaystyle \hat{U}(t)=\hat{1}+\frac{1}{i}\int_0^t \hat{H}(t)\hat{U}(t)dt$

但し， $\hbar=1$ の単位系を採りました．

するとこれは

ysdphy.hatenablog.com

で扱った積分方程式です．よって，代入して

$\displaystyle \hat{U}_1(t)=\hat{1}+\frac{1}{i}\int_0^t \hat{H}(t')\left(1+\frac{1}{i} \int_0^{t'}\hat{H}(t'')\hat{U}(t'')dt''\right)dt'$ ．

この操作

$\displaystyle\hat{U}_{n+1}(t)=\hat{1}+\int_0^t \hat{H}(t')\hat{U}_n (t')dt'$

を繰り返して

$\displaystyle \hat{U}_\infty(t)=1+\frac{1}{i} \int_{0}^{t}\hat{H}\left(t^{\prime}\right)dt^{\prime}+\left(\frac{1}{i}\right)^{2}\int_{0}^{t}\int_{0}^{t^{\prime}}\hat{H}\left(t^{\prime}\right) \hat{H}\left(t^{\prime \prime}\right) dt^{\prime \prime} dt^{\prime} +\left(\frac{1}{i}\right)^{3} \int_{0}^{t} \int_{0}^{t^{\prime}} \int_{0}^{t^{\prime \prime}}\hat{H}\left(t^{\prime}\right)\hat{H}\left(t^{\prime\prime}\right)\hat{H}\left(t^{\prime\prime\prime}\right)dt^{\prime\prime\prime}dt^{\prime\prime}dt^{\prime}+\cdots$