コペルニクス原理とGottの推定 - ここなら古紙回収されない

これは須藤靖「一般相対論入門[改訂版]」のp.120で知った話です．Wikipediaにも載っています．

natureに掲載された論文

が元ネタです．

あらゆるできごとの始まりの時刻を $t_i$ ，終わりの時刻を $t_f$ とします．宇宙にはなんら特別な時刻はなく，我々の現在時刻 $t_0$ がこの間にあるときどこにあるかは同様に確からしい筈です(コペルニクス原理)．

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このとき，できごとの始まりの時刻から現在までに経った時間を $t_\text{past}$ ，現在からできごとの終わりの時刻を $t_\text{future}$ とすると，

$t_\text{past}=t_0-t_i,\quad t_\text{future}=t_f-t_0$ より

$\displaystyle r:=\frac{t_0-t_i}{t_f-t_i}=\frac{t_\text{past}}{t_\text{past}+t_\text{future}}$

で $r$ はコペルニクス原理から $0\leq r \leq 1$ の間の値を等確率にとります(一様乱数)．よって例えば38/40=95%の確率で

$\displaystyle \frac{1}{40}\leq\frac{t_\text{past}}{t_\text{past}+t_\text{future}}\leq\frac{39}{40}$

すなわち，

$\displaystyle \frac{t_\text{past}}{39}\leq t_\text{future} \leq 39 t_\text{past}$

つまり傾向として，これまで長く続いてきたことは，これからも長く続くだろうということが，コペルニクス原理から導き出されたわけです．反対に，ぽっと出の事象は短命に終わる確率が高いということにもなります．