ここなら古紙回収されない

部分積分ならぬ部分和分

高校数学数学

このブログで唯一アクセスのある記事が

ysdphy.hatenablog.com

です．和分→積分のアナロジーを見たのが上記の記事でしたが，積分の常套手段，部分積分と同じことが和分でできそうです．

$\displaystyle \Delta a_k:=a_{k+1}-a_k$

として

$\displaystyle \sum_{k=\alpha}^\beta\Delta a_k=a_{\beta+1}-a_\alpha$

これが微積分学の基本定理だという話は上の記事でしました．

さて，積の差分は

$\displaystyle\Delta(a_k b_k)=a_{k+1}b_{k+1}-a_kb_k$

$\quad\quad\quad=a_{k+1}b_{k+1}-a_kb_{k+1}+a_kb_{k+1}-a_kb_k$

$\quad\quad\quad=(\Delta a_k)b_{k+1}+a_k\Delta b_k$

なので

$\displaystyle a_k\Delta b_k=\Delta(a_kb_k)-(\Delta a_k)b_{k+1}$

です．

高校数学でこれが応用できるのは私の知る限りでは $\sum_k k r^k$ 型のときくらいです．離散数学を専門的に学べばもっと色々使いようがあるのかもしれません．

$\displaystyle kr^k=\frac{1}{r-1}k\Delta(r^k)$

$\displaystyle \quad\quad=\frac{1}{r-1}\left(\Delta(kr^k)-(\Delta k)r^{k+1}\right)$

$\displaystyle \quad\quad=\frac{1}{r-1}\left(\Delta(kr^k)-r^{k+1}\right)$

で，差分の和と，等比数列の和の形に落とし込めます．等比数列の和の公式も結局は差分の和の形ですから，すべて差分にできたということです． $\Delta k=1$ なので簡単になりましたが，これが $k^2r^k$ だと若干ややこしいです．

ありそうな問題：

$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 r^{k-1}$

実はこの手の問題は，部分和分ではなく微分を利用する定石が知られています．上の問題の場合

$\displaystyle \frac{d^2}{dr^2}\sum_{k=1}^n r^{k+1}=\sum_{k=1}^n k(k+1)r^{k-1}=\sum_{k=1}^n k^2r^{k-1}+\sum_{k=1}^n kr^{k-1}$

で，

$\displaystyle \sum_{k=1}^n r^{k+1}=\frac{r^2(r^n-1)}{r-1}$

と判っているのでこれを二階微分すれば分かります．これの二階微分もそこそこ面倒なのでどちらを選ぶかは好みですね．