生成消滅演算子の簡単な定義 - ここなら古紙回収されない

生成演算子 $\hat{a}^+$ ，消滅演算子 $\hat{a}^-$ を

$\displaystyle \Bigl[\hat{A},\hat{a}^{+}\Bigr]=\alpha \hat{a}^{+}$

$\displaystyle \Bigl[\hat{A},\hat{a}^{-}\Bigr]=-\alpha \hat{a}^{-}$

で定義する．すると

$\displaystyle\hat{A}|\lambda\rangle=\lambda|\lambda\rangle$

に対して
$\displaystyle\hat{A}(\hat{a}^{\pm}|\lambda\rangle)=\left(\Bigl[\hat{A},\hat{a}^{\pm}\Bigr]+\hat{a}^{\pm}\hat{A}\right)|\lambda\rangle$

$\displaystyle=(\pm\alpha\hat{a}^{\pm}+\hat{a}^{\pm}\lambda)|\lambda\rangle$
$\displaystyle=(\lambda\pm\alpha)\hat{a}^{\pm}|\lambda\rangle$

なので

$\displaystyle \hat{a}^+|\lambda\rangle=|\lambda+\alpha\rangle$

$\displaystyle \hat{a}^-|\lambda\rangle=|\lambda-\alpha\rangle$

生成消滅演算子の定義から，

$\displaystyle \Bigl[\hat{a}^+\hat{a}^-,A\Bigr]=\Bigl[\hat{a}^-\hat{a}^+,A\Bigr]=0$

上の定義からは生成消滅演算子の交換関係は定まらない．