1/(1+x^n)の0から∞までの積分 - ここなら古紙回収されない

$\displaystyle \int_0^\infty\frac{dx}{1+x^n}$

を考えます．そのために以下のような径路での積分を考えます．

f:id:rikk_16_phy:20200811182949p:plain — 径路

これを反時計回りに周回する径路を $\Phi$ とし，原点から出発して真っ直ぐ $z=R$ へ至る径路を $A$ ， $z = R$ から原点中心の弧を描き $z = R e^{2πi/n}$ へ至る径路を $C$ ， $z = R e^{2πi/n}$ から真っ直ぐ原点へ至る径路を $B$ とします．

複素数の範囲で

$\displaystyle f(z):=\frac{1}{1+z^n}$

として

\begin{aligned}
\oint_{\Phi} f(z) \mathrm{d} z &=\left(\int_{A}+\int_{B}+\int_{C}\right) f(z) \mathrm{d} z \\
&=\int_{0}^{R} f(x) \mathrm{d} x+\int_{B} f(z) \mathrm{d} z+\int_{C} f(z) \mathrm{d} z
\end{aligned}

第一項は実積分でこれを $I(n,R)$ と書きます． $f(z)$ の特異点は $m$ を整数として $z=\exp[(2m+1)\pi i/n]$ でそのうち $\Phi$ の内側にあるのは $z=e^{\pi i/n}$ です．留数定理とロピタルの定理から

\begin{aligned}
\oint_{\Phi} f(z) \mathrm{d} z &=2 \pi i \operatorname{Res}\left[e^{\pi i / n} ; f\right] \\
&=\left.2 \pi i \frac{z-e^{\pi i / n}}{z^{n}+1}\right|_{z \rightarrow e^{\pi i / n}} \\
&=\left.2 \pi i \frac{1}{n z^{n-1}}\right|_{z \rightarrow e^{\pi i / n}} \\
&=\frac{2 \pi i}{n \exp \left(\frac{n-1}{n} \pi i\right)}
\end{aligned}

径路 $B$ で $z(t)=te^{2\pi i/n}(0\leq t\leq R)$ とパラメタ表示でき, $dz=e^{2\pi i/n}dt,z^n=t^n e^{2\pi i}$ より

\begin{aligned}
\int_{B} f(z) \mathrm{d} z &=\int_{R}^{0} \frac{1}{t^{n}+1} e^{2 \pi i / n} \mathrm{d} t \\
&=-e^{2 \pi i / n} I(n, R)
\end{aligned}

径路 $C$ では $z(t)=Re^{it}(0\leq t \leq 2\pi/n)$ ， $|z|=R$ に注意して $n\geq2$ と十分大きな $R$ に対して

$\displaystyle \frac{1}{\left|z^{n}+1\right|} \leq \frac{M}{R^{2}}$

となる $M$ が存在します．絶対値を評価すると

\begin{aligned}
\left|\int_{C} \frac{\mathrm{d} z}{z^{n}+1}\right| &=\left|\int_{0}^{2 \pi / n} \frac{1}{z^{n}+1} i R \mathrm{d} t\right| \\
& \leq \int\left|\frac{1}{z^{n}+1}\right| R \mathrm{d} t \\
& \leq \int \frac{M}{R^{2}} R \mathrm{d} t \rightarrow 0 \quad(R \rightarrow \infty)
\end{aligned}

なので

$\lim _{R \rightarrow \infty} \int_{C} f(z) \mathrm{d} z=0$

です．求めたいのは

$\displaystyle I(n):=I(n, \infty)=\int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{n}+1}$

なので $R\to\infty$ として

$\displaystyle \frac{2 \pi i}{n \exp \left(\frac{n-1}{n} \pi i\right)}=I(n)-e^{2 \pi i / n} I(n)$

です．これを実数であることが露になる形に解きます．

\begin{aligned}
I(n) &=\frac{2 \pi i}{n}\left(e^{\frac{n-1}{n} \pi i}-e^{\frac{n+1}{n} \pi i}\right)^{-1} \\
&=\frac{2 \pi i}{n}\left(e^{\pi i}\left(e^{-\frac{\pi}{n} i}-e^{\frac{\pi}{n} i}\right)\right)^{-1} \\
&=-\frac{2 \pi i}{n} \frac{1}{2 \operatorname{Im}\left[e^{-\frac{\pi}{n}} i\right] i} \\
&=\frac{\pi}{n \operatorname{Im}\left[e^{\frac{\pi}{n} i}\right]} \\
\therefore I(n) &=\frac{\pi}{n \sin \left(\frac{\pi}{n}\right)} \in \mathbb{R}
\end{aligned}

となって求まりました．複素積分の威力がよくわかります(複素積分を使わずとも解く方法がありますが)．