座標変換を見たら先ずは計量テンソル - ここなら古紙回収されない

微分幾何をちゃんと勉強したわけじゃないので，可笑しな記述があるかもしれません．あればご指摘いただけるとありがたいです(誰も見てないか笑)．

Descartes座標から極座標などの，普通の座標変換(数学の言葉で言えば微分同相写像?)が与えられたときに，それらのヤコビアンやラプラシアンを知りたいことが多いと思います．実際，三次元極座標のラプラシアンを導出する地獄の計算は理工系学部の洗礼とも言えるでしょう．しかし，計量テンソルを知っていれば，そんな地獄の計算はしなくてもよいのです．なぜか，(少なくとも私の経験上では)計量テンソルに初めて触れるのが相対論というのが現状ですが，計量テンソルは非常に実用的な道具なので，学部の物理数学の段階で学ぶべきでしょう．

まず，基底として $\displaystyle\{d{x}^i\}$ を考えます．この双対基底を
\begin{align}
\{ \partial_i\}
\end{align}
と書きます．計量テンソル $g_{ij}$ を
\begin{align}
g_{ij} :=(\partial_i,\partial_j)
\end{align}
で定義します．但し，(,)は内積．
さて，
\begin{align}
g^{ij}:= (d{x}^i,d{x}^j)
\end{align}
とし，
\begin{align}
\begin{aligned}
&\boldsymbol{A}\,=A_i d{x}^i\\
&\boldsymbol{A}^*=A^i \partial_i\\
&\boldsymbol{B}\,=B_i d{x}^i\\
&\boldsymbol{B}^*=B^i \partial_i
\end{aligned}
\end{align}
を定義して，
\begin{align}
\begin{aligned}
(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})=(\boldsymbol{A}^*,\boldsymbol{B})=(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}^*)
=(\boldsymbol{A}^*,\boldsymbol{B}^*)
\end{aligned}\end{align}
を要請すれば $\displaystyle g^{\mu \nu}g_{\nu \sigma}={\delta^\mu}_{\sigma}$ が従います．

ここで， $\partial_i$ 方向に $d{x}^i$ 増えた時のベクトル $d{\vec{s}}$ の大きさを考えます．これは座標の関数の全微分を考えたときに
\begin{align}
d{f}= (d{x}\partial_x+d{y}\partial_y)f
\end{align}
の $f$ にかかる $\partial$ を基底と見做した時に得られるベクトルです．全微分は座標の取り方に依らず(座標の取り方に依らない量とは本質的であるということで，重要です)， $f$ は任意に選べるので(偏微分として見做したver.の) $d\vec{s}$ は座標の取り方に依りません．双対性からも $\displaystyle d{x}^i \partial_i=d{x'}^j \partial'_j$ なので $d\vec{s}$ は座標の取り方に依りません．
\begin{align}
\begin{aligned}
d s^2 &:= (d{x}^i \partial_i,d{x}^j \partial_j)\\
&=d{x}^i d{x}^j (\partial_i,\partial_j)\\
&=g_{ij}d{x}^i d{x}^j
\end{aligned}
\end{align}

この $d s=\sqrt{d{s}^2}$ を線素ということにします(反対に， $d{x}^i$ 方向に $\partial_i$ 増えた時のベクトル $d{\vec{s}}$ の大きさを考えても同様です)．

簡単な例として2次元極座標を考えます．
これに $f=x=r \cos \theta$ や $f=y=r \sin \theta$ を代入して計算します．
\begin{align}
\begin{aligned}
d{x}\partial_x x= d{\theta} \partial_{\theta}(r \cos \theta)+
d{r} \partial_r (r \cos \theta)\\
d{x}\partial_y y= d{\theta} \partial_{\theta}(r \sin \theta)+
d{r} \partial_r (r \sin \theta)
\end{aligned}
\end{align}
などとして
\begin{align}
d{s}^2=d{x}^2+d{y}^2=d{r}^2+r^2 d{\theta}^2
\end{align}
が求まります．よって
\begin{align}
g_{ij}=\text{diag}\Bigl(1 , r^2\Bigr) \,\,\text{for}\, i,j=r,\theta
\end{align}
で逆行列は
\begin{align}
g^{ij}=\text{diag}\Bigl(1 , \frac{1}{r^2}\Bigr) \,\,\text{for}\,\, i,j=r,\theta
\end{align}
となります．次に3次元極座標を考えてみます．
\begin{align}
\begin{aligned}
&x=r \sin \theta \cos \phi\\
&y=r \sin \theta \sin \phi\\
&z=r \cos \theta
\end{aligned}
\end{align}
に対して全微分は
\begin{align}
\begin{aligned}
&d{x}=\sin \theta \cos \phi d{r}+r \cos \theta \cos \phi d{\theta}- r \sin \theta \sin \phi d{\phi}\\
&d{y}=\sin \theta \sin \phi d{r}+r \cos \theta \sin \phi d{\theta}- r \sin \theta \cos \phi d{\phi}\\
&d{z}=\cos \theta d{r}-r \sin \theta d{\theta}
\end{aligned}
\end{align}
これに対して
\begin{align}
d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2
\end{align}
を計算する．すると
\begin{align}
d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2=d{r}^2+r^2 \sin \theta d{\phi}^2
\end{align}
なので計量テンソルは
\begin{align}
g_{ij}=\text{diag}\Bigl(1,r^2,r^2 \sin ^2 \theta\Bigr) \,\,\text{for}\,\, i,\,j=r,\,\theta,\,\phi
\end{align}
と求まります．次に計量テンソルの座標変換を考えてみます．その前にヤコビアンが

$\displaystyle J_{ij}=\frac{\partial x^i}{\partial x'^j}$

であることを確認しておきます．

$\displaystyle g'_{ij}=(\partial'_i,\partial'_j)=\frac{\partial x^p}{\partial x'^i}\frac{x^q}{\partial x'^j}(\partial_p,\partial_q)=\frac{\partial x^p}{\partial x'^i}\frac{x^q}{\partial x'^j}g_{pq}=J_{pi}J_{qj}g_{pq}=J^\top_{ip}g_{pq}J_{qi}$