ヨビノリの今週の積分#45の一般化 - ここなら古紙回収されない

やるべきことをサボり，ヨビノリの今週の積分を見ていたら，こんな動画を見つけました．

この変形に気付かなかったので，どうせならこれを一般化してやろうと思います．

一般化はそう難しくありません．もしかしたら更に一般化できるかもしれません．

分数の分母と分子を割っても変わらないことから分数には実質，自由度が見た目よりも少ないことを利用する変形です．すなわち

$\displaystyle \int \frac{x^{n-1}}{kx^m+x^n}=\int \frac{x^{n-m-1}}{k+x^{n-m}}=\frac{1}{n-m}\ln|k+x^{n-m}|+\text{Const.}$

$\text{for }n,m\in\mathbb{Q},n\neq m$

わざわざ，こんな「公式化」をするのは教育的ではないのかもしれませんが自分で一般化をしてみたり遊ぶ分には楽しいですね．