微分形式をブラケットで

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とあるSNSで，微分形式をブラケットで書くというアイディアを見て，面白そうだったので，思いつくままに書いてみます． \{|x^i\rangle\}の双対基底を\{\langle x_i|\}と書くのが天才Diracが編み出したブラケット記法です．ケットの空間をV，ブラの空間をV^*と書くと，

\displaystyle |\phi\rangle=\phi_i |x^i\rangle \,\,\text{for all }|\phi\rangle\in V

\displaystyle \langle\psi|=\psi^i \langle x_i| \,\,\text{for all }\langle\psi|\in V^*

です．ですので，ブラとケットの積はスカラーになります．

\displaystyle \langle\psi|\phi\rangle=\psi^i\phi_j \langle x_i|x^i\rangle=\psi^i\phi_j{\delta_i}^j=\psi^i\phi_i \in \mathbb{C}

ここに，{\delta_i}^jはクロネッカーデルタで天才Einsteinが編み出した縮約記法を使っています．

|x^i\rangleが完全系を成すとき，

\displaystyle |x^i\rangle\langle x_i|=\hat{1}

が成り立ちます．これを掛けるのが，基底で展開することに相当します．

\displaystyle |\phi\rangle=\Biggl(|x^i\rangle\langle x_i|\Biggr)|\phi\rangle=\langle x_i|\phi\rangle|x^i\rangle=\phi_i|x^i\rangle

同じ話を微分形式でもやってみます．

微分形式の場合， \{dx^i\}=\{|dx^i\rangle\}の双対基底を\{ \partial_i\}=\{\langle dx_i|\}と書けます．

ところで，これは重要なことですが，ベクトルは座標系の取り方に依りません．座標系の取り方で変わるのはあくまでも成分です．だから物理法則はベクトル(テンソル)で記述しなければなりません，観測者(座標系)によって物理が変わってしまっては困るので(一般相対性原理)．

また，全微分も座標の取り方に依らない量です．

この対応を与えるのが微分形式で， \{|dx^i\rangle\}で張られる空間の元は全微分です．すなわち

\displaystyle |\phi\rangle=\Biggl(|dx^i\rangle\langle dx_i|\Biggr)|\phi\rangle=\langle dx_i|\phi\rangle|dx^i\rangle=\phi_i|dx^i\rangle

\underset{\text{対応}}{\Longleftrightarrow}

 \displaystyle d\phi=\Bigl(\partial_i \phi\Bigr) dx^i=\left(\frac{\partial\phi}{\partial x^i}\right)dx^i

です．展開係数が偏微分係数になっていることが判ります．

また，完全性の式

\displaystyle \hat{1}=|dx^i\rangle\langle dx_i|=|du^i\rangle\langle du_i|

はこのように基底を\{dx^i\}から\{du^i\}に換えても成り立ちますが(完全系なら)，これは全微分が座標の取り方に依らないことと対応していると見ることができます．すなわち，

\displaystyle |f\rangle=\langle dx_i|f\rangle|dx^i\rangle=\langle du_i|f\rangle|du^i\rangle

\underset{\text{対応}}{\Longleftrightarrow}

 \displaystyle df=\left(\frac{\partial f}{\partial x^i}\right)dx^i=\left(\frac{\partial f}{\partial u^i}\right)du^i