ラプラシアン，ダランベルシアンを計量テンソルで

発散は，

$\displaystyle \text{div}\vec{V}={V^\mu}_{;\mu}={V^\mu}_{,\mu}+{\Gamma^\mu}_{\alpha\mu}V^\mu$

です． ${;}$ は共変微分で，共変微分とは基底ベクトルの変化も考慮に入れた，微分です．接続は，

$\displaystyle {\Gamma^\mu}_{\alpha\mu}=\frac{1}{2}g^{\mu\beta}\Bigl(g_{\beta\alpha,\mu}+g_{\beta\mu,\alpha}-g_{\alpha\mu,\beta}\Bigr)=\frac{1}{2}g^{\mu\beta}g_{\beta\mu,\alpha}$

但し，和をとるindexがダミーであることと計量テンソルの対称性より

$\displaystyle g^{\mu\beta}g_{\beta\alpha,\mu}-g^{\mu\beta}g_{\alpha\mu,\beta}$

$\displaystyle =g^{\mu\beta}g_{\beta\alpha,\mu}-g^{\beta\mu}g_{\alpha\beta,\mu}$

$\displaystyle =g^{\mu\beta}g_{\beta\alpha,\mu}-g^{\mu\beta}g_{\beta\alpha,\mu}$

$\displaystyle =0$

が従うことを使いました．

ここで一般の行列 $A=(a_{ij})$ について，行列式の余因子展開

$\displaystyle \text{det}(A)=\Delta_{1j}a_{1j}+\Delta_{2j}a_{2j}+\cdots+\Delta_{nj}a_{nj}$

なので，

$\displaystyle \frac{\partial \text{det}A}{\partial a_{ij}}=\Delta_{ij}$

から

$\displaystyle d\,\text{det}(A)=\sum_{i,j}\Delta_{ij}da_{ij}$

です．また，

$\displaystyle (A^{-1})_{ij}=\frac{\Delta_{ji}}{\text{det}A}$

です．代入して

$\displaystyle d\,\text{det}A=\text{det}A\sum_{i,j}(A^{-1})_{ij} da_{ij}$

と書けます．

これを計量テンソルに対して適用すると，

$\displaystyle dg=gg^{\mu\nu}dg_{\mu\nu}$

となります．但し，

$g:=\text{det}(g_{ij})$

と書きました．従って，

$\displaystyle g_{,k}=gg^{\mu\nu}g_{\mu\nu,k}$

となります．先ほどの式と見比べると

$\displaystyle {\Gamma^\mu}_{\alpha\mu}=\frac{1}{2}g^{\mu\beta}g_{\beta\mu,\alpha}=\frac{1}{2}\frac{g_{,\alpha}}{g}=\frac{\partial_\alpha \sqrt{|g|}}{\sqrt{|g|}}$

と判ります．さて，発散の式にようやっと戻ると，

$\displaystyle {V^\mu}_{;\mu}=\partial_\mu V^\mu+\left(\frac{\partial_\mu\sqrt{|g|}}{\sqrt{|g|}}\right)V^\mu=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial_\mu\Bigl(\sqrt{|g|}V^\mu\Bigr)$