2020-07-13

The Economist 9th Jul 2020 語彙・表現

e.g.以下の例文は，一部切り取っていますが，The Economistからのものです．

恥ずかしながら，blightってポジティブな意味の言葉かと思いました．あと，exploit，persistent辺りは超重要単語ですね．status quoは覚えてましたが，格好いいので敢えて書きました．ラテン語やフランス語由来の表現は格好いいです．ちなみに，こないだ書いた，cul-de-sac(袋小路)はフランス風の英語で，和製英語ならぬ英製仏語なんだそうです．

The new ideology of race

myriad 無数の
blight[T] 損なう，枯らす
faction 派閥，少数派
exploit[T] つけ込む，利用する
e.g.) exploit ratial devision as a political tool
backdrop 背景
against a backdrop of~ ~を背景にして
inflame[T] 悪化させる(原義：火をつける
vigorous 精力的な
relentless 厳しい，絶え間ない
equality before the law 法の下の平等
hew to ~ ~を遵守する
notion 概念，見解，考え方
supplant[T] 取って代わる
intimidation 脅迫，威嚇
chill 冷やす，抑える
e.g.) Intimidation will chill open debate and sow division
premise 前提
underpin[T] 下から支える
e.g.) The premise underpinning this ideology is correct
persistent 繰り返し起きる
valid 妥当である
overt 明白な(↔covert)
put-down こき下ろし，嫌がらせ
deem[T] ~であると見做す
e.g.) shutting out those who are deemed privileged or disloyal to their race
through the prism of~ ~の眼を通して見て
e.g.) Everything and everyone is seen through the prism of ideology
in-group 派閥
obsess over~ ~を必要以上に気にする
orthodoxy 正統とされる考え
just 正しい，妥当な
take a toll 大損害を与える
e.g.,Their approach is already taking a toll
warped ゆがんだ，ねじれた
curb[T] 制限する
e.g.)Public shaming and intimidiation have been curbing debate
dismabtle[T] 解体する
ingrained しみ込んだ
transaction 交流，やり取り
empathy 共感
marginalise[T] 主流から外す
bigotry 偏見
abusive 口汚い
accommodate[T] 配慮する，和解させる
apartheid アパルトヘイト
reparation 賠償金
cohesive 結束した
segregation 分離，隔離
top up いっぱいに満たす
earned-income tax credit (EITC) 給付付き税額控除
e.g.)The earned-income tax credit tops up wages of working adult
status quo 現状
e.g.) Liberals have helped bring about change when society faced a challenge to the status quo.

2020-07-11

混合状態のエンタングルメントの評価

大学物理量子論物理学

純粋状態に対しては，エンタングルメントエントロピーが定義されます．但し，二体系に対してのみ定義できることに注意が必要です．

エンタングルメントエントロピーを定義する前にvon Neumannエントロピーを導入します．混合状態 $\rho$ に対してvon Neumannエントロピー $S(\rho)$ は

$\displaystyle S(\rho):=-\text{Tr}(\rho\log_2\rho)$

です．

さて，実は二体系の純粋状態 $|\psi\rangle$ について以下の事実が成り立ちます．

$\displaystyle \quad \text{Tr}_2 |\psi\rangle\langle\psi|=\text{Tr}_1 |\psi\rangle\langle\psi|\text{ for }|\psi\rangle\in\mathcal{H}_1\otimes\mathcal{H}_2$

つまり，二体系の純粋状態に対してはどちらでトレースアウトしようが同じ混合状態が出来上がります．これらを， $\rho_1,\rho_2$ と書けば，当然

$\displaystyle S(\rho_1)=S(\rho_2)$

になりますが，実はこれをエンタングルメントエントロピーと呼びます．

実際，二体系がテンソル積状態に「因数分解」されて

$\displaystyle |\psi\rangle_{1+2}=|\phi_1\rangle\otimes|\phi_2\rangle$

のようになっているときに(明らかにエンタングルしていません)，

$\displaystyle \text{Tr}_2 |\psi\rangle\langle\psi|=\text{Const.}\times|\phi_1\rangle\langle\phi_1|\propto |\phi_1\rangle\langle\phi_1|$

なので

$\displaystyle S(\rho_1)=\log 1=0$

になります．

以上が純粋状態についての話です．混合状態については，エンタングルメントエントロピーは定義できませんが，混合状態についても，混合状態 $\rho$ が

$\displaystyle \rho_{1+2}=\sum_k p_k \rho_{1,k}\otimes \rho_{2,k}$

のように書けている(セパラブル状態)ときに0になるような量が欲しいです( $\rho_{1+2}$ は系1と系2の合成系という意味です).このような量をネガティビティといいます．なぜ，「ネガティビティ」と呼ぶかというと，密度行列 $\rho$ の部分転置行列 $\rho^\text{PT}$ の固有値が負であることと関係づいているからです(2体系について部分転置状態の非負性が $\rho$ がセパラブル状態であるための必要十分条件であることが示されています)．ネガティビティ $\mathcal{N}(1:2)$ は

$\require{amsmath}\displaystyle \mathcal{N}(1:2):=\sum_{{\lambda_i^\text{PT}}\lt0}|\lambda_i^\text{PT}| ; \quad\{\lambda^\text{PT}_i\}=\text{Spec}\left(\rho^\text{PT}_{1+2} \right)$

で定義されます．つまり，ネガティビティの値が大きいほど，元の状態はセパラブル状態からかけ離れています．このことから，ネガティビティは混合状態に対してエンタングルメントエントロピーと似た意味を持ちます．両方とも2体系に対してしか使えないことに注意が必要です．

内容に全く関係ありませんが，はてなブログで不等号が表示されずに，結構手こずりました．\ltで小なり，\gtで大なりだったんですね．

2020-07-11

Grassman積分

最近知った話なので，メモ程度に．

グラスマン数は，

$\displaystyle \eta\xi=-\xi\eta,\quad\text{i.e.},\quad\eta^2=\xi^2=0$

を満たします．グラスマン積分を

$\displaystyle \int d\eta=0,\,\,\int d\eta\, \eta=1$

で定義します．すると，グラスマン数の関数は級数展開を考えれば，

$\displaystyle f(\eta)=b+\eta a$

なので

$\displaystyle \int d\eta\,f(\eta)=a\quad\text{for all } f$

となります．

2020-07-09

The Economist 4th Jul 2020 語彙・表現

The Economist 英語

The Economistで特によく見る単語ってありますよね．gloomyとか．

Keep it practical

weighty [硬]重要な．(本などが)重い
tome 大きくて重い本
opine on ~ ~について意見を持つ，述べる
miasma 不快なにおいの空気・ガス
e.g) His message is lost in a miasma of mixed metaphors.
reciprocity 互恵主義
rambling とりとめのない
bill 法案
e.g.) Salesforce opposed a bill in Indiana that would have allowed business owners to discriminate against LGBTQ custmers.
turn a blind eye 見て見ぬ振りをする
e.g., Companies and their leaders simply can no longer turn a blind eye to the issues that matter to their employees
asess 評価する
contradictory 矛盾している
e.g.) the aims are complementary rather than contradictory

A safe harbour no more

draconian 過酷な(古代アテネの厳格な執政官Draconから
sweeping 広範囲な
say-so 許可，権限
legislature 立法府
rubber-stamp (決定などを)安易に行う(原義：ゴム印を押す
harsh 厳しい
gloomy 悲観的
disingenuous 不誠実
spook スパイ
be subject to~ ~の支配下になる
government-appointed 官選の
dispense with ~ ~なしで済ます
shelve 棚上げする
extradite 本国へ引き渡す
dissident 反体制の人
whisk away 連れ去る(whisk:泡立てる
excute 処刑する
lambast こき下ろす，攻撃する
quixotic ドンキホーテ流の
sedition 治安妨害
subversion 政府転覆行為
collusion 共謀
petty 些細な
invoke 発動する
undermine (権威を)ひそかに傷つける
rally 集会
Tiananmen 天安門
err [自] 過ちを犯す
err on the side of A Aを必要以上にし過ぎる
e.g.) It errs on the side of severity. 厳格に失する
sanction 制裁
ruthless 無慈悲な，手段を択ばない
bloodshed 流血
minnow コイ科の小魚
pay heed to ~ ~に注意を払う
get-it-alone 独り善がりの
hold a lesson for~ ~に教訓を与える
e.g.) Hong Kong's suffering holds a lesson for the world
stop at nothing 手段を択ばない
dissent 異議
e.g.)They will stop at nothing to supress dissent
vigilance [硬] 警戒

2020-07-07

ラプラシアン，ダランベルシアンを計量テンソルで

大学数学数学

発散は，

$\displaystyle \text{div}\vec{V}={V^\mu}_{;\mu}={V^\mu}_{,\mu}+{\Gamma^\mu}_{\alpha\mu}V^\mu$

です． ${;}$ は共変微分で，共変微分とは基底ベクトルの変化も考慮に入れた，微分です．接続は，

$\displaystyle {\Gamma^\mu}_{\alpha\mu}=\frac{1}{2}g^{\mu\beta}\Bigl(g_{\beta\alpha,\mu}+g_{\beta\mu,\alpha}-g_{\alpha\mu,\beta}\Bigr)=\frac{1}{2}g^{\mu\beta}g_{\beta\mu,\alpha}$

但し，和をとるindexがダミーであることと計量テンソルの対称性より

$\displaystyle g^{\mu\beta}g_{\beta\alpha,\mu}-g^{\mu\beta}g_{\alpha\mu,\beta}$

$\displaystyle =g^{\mu\beta}g_{\beta\alpha,\mu}-g^{\beta\mu}g_{\alpha\beta,\mu}$

$\displaystyle =g^{\mu\beta}g_{\beta\alpha,\mu}-g^{\mu\beta}g_{\beta\alpha,\mu}$

$\displaystyle =0$

が従うことを使いました．

ここで一般の行列 $A=(a_{ij})$ について，行列式の余因子展開

$\displaystyle \text{det}(A)=\Delta_{1j}a_{1j}+\Delta_{2j}a_{2j}+\cdots+\Delta_{nj}a_{nj}$

なので，

$\displaystyle \frac{\partial \text{det}A}{\partial a_{ij}}=\Delta_{ij}$

から

$\displaystyle d\,\text{det}(A)=\sum_{i,j}\Delta_{ij}da_{ij}$

です．また，

$\displaystyle (A^{-1})_{ij}=\frac{\Delta_{ji}}{\text{det}A}$

です．代入して

$\displaystyle d\,\text{det}A=\text{det}A\sum_{i,j}(A^{-1})_{ij} da_{ij}$

と書けます．

これを計量テンソルに対して適用すると，

$\displaystyle dg=gg^{\mu\nu}dg_{\mu\nu}$

となります．但し，

$g:=\text{det}(g_{ij})$

と書きました．従って，

$\displaystyle g_{,k}=gg^{\mu\nu}g_{\mu\nu,k}$

となります．先ほどの式と見比べると

$\displaystyle {\Gamma^\mu}_{\alpha\mu}=\frac{1}{2}g^{\mu\beta}g_{\beta\mu,\alpha}=\frac{1}{2}\frac{g_{,\alpha}}{g}=\frac{\partial_\alpha \sqrt{|g|}}{\sqrt{|g|}}$

と判ります．さて，発散の式にようやっと戻ると，

$\displaystyle {V^\mu}_{;\mu}=\partial_\mu V^\mu+\left(\frac{\partial_\mu\sqrt{|g|}}{\sqrt{|g|}}\right)V^\mu=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial_\mu\Bigl(\sqrt{|g|}V^\mu\Bigr)$

と書けます．次にラプラシアンを考えます．ラプラシアンは，

$\displaystyle\bigtriangleup:=\text{div}\,\text{grad}$

です．スカラー場 $\phi$ に対しては共変微分は偏微分と同じなので

$\displaystyle \bigtriangleup\phi=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial_\mu\Bigl(\sqrt{|g|}\phi^{;\mu}\Bigr)$

$\displaystyle \qquad=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial_\mu\Bigl(\sqrt{|g|}\partial^\mu\phi\Bigr)$

$\displaystyle \qquad=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial_\mu\Bigl(\sqrt{|g|}g^{\mu\nu}\partial_\nu\phi\Bigr)$

なので，ラプラシアンが計量テンソルで表せました．これは4次元時空の場合にはダランベルシアンになります．

$\displaystyle \Box\,\phi=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial_\mu\Bigl(\sqrt{|g|}g^{\mu\nu}\partial_\nu\phi\Bigr)$

2020-07-06

微分形式をブラケットで

数学大学数学

とあるSNSで，微分形式をブラケットで書くというアイディアを見て，面白そうだったので，思いつくままに書いてみます． $\{|x^i\rangle\}$ の双対基底を $\{\langle x_i|\}$ と書くのが天才Diracが編み出したブラケット記法です．ケットの空間を $V$ ，ブラの空間を $V^*$ と書くと，